Travelling fronts in cylinders
This work is concerned with travelling front solutions of semilinear parabolic equations in an infinite cylindrical domain Σ = \textup{R} × ω where ω ⊂ \textup{R}^{n−1} is a bounded domain. We write for x in Σ , x = (x_1, y) , with y \in ω . The problems we consider are of the following type \begin{cases} \mathrm{\Delta }u−\left(c + \mathrm{\alpha }\left(y\right)\right)∂_{1}\:u + f\left(u\right) = 0&\text{in }\mathrm{\Sigma } \\ \frac{∂u}{∂\mathrm{\nu }} = 0 &\mathrm{on }∂\sum \\ u\left(−∞,.\right) = 0,\qquad u\left( + ∞,.\right) = 1 \end{cases} where the unknowns are the parameter c \in \textup{R} and the function u . The function \alpha \in C^0\left(\bar\omega \right) and the nonlinear term f:[0, 1] → \textup{R} are given. (More general coefficients than c + α (y) , β (y, c) are also treated.) We obtain a fairly general resolution of this problem. The results depend on the type of nonlinearity considered. When f is of the bistable type, or of the “ignition temperature” type in combustion, we show the existence and uniqueness of c and of the profile u . In the case that f > 0 in (0, 1) , we show the existence of c^*\in \textup{R} such that a solution exists if and only if c ≧ c^* . These results extend to higher dimensions various classical results. In particular they extend the result of Kolmogorov, Petrovsky and Piskounov. Résumé Cet article a pour objet les solutions de type front progressif pour des équations paraboliques semi-linéaires dans un domaine cylindrique infini \mathrm{\Sigma } = \mathrm{R} \times \mathrm{\omega }\:o\mathrm{ù}\:\mathrm{\omega } \subset \mathrm{R}^{n−1} est un domaine borné. Pour x dans Σ , nous noterons : x = (x_1,y) , avec y\in ω . Les problèmes que nous envisageons sont de la forme \begin{cases} \mathrm{\Delta }u−\left(c + \mathrm{\alpha }\left(y\right)\right)∂_{1}\:u + f\left(u\right) = 0&\text{in }\mathrm{\Sigma } \\ \frac{∂u}{∂\mathrm{\nu }} = 0 &\mathrm{on }∂\sum \\ u\left(−∞,.\right) = 0,\qquad u\left( + ∞,.\right) = 1 \end{cases} où l’on cherche à déterminer le paramètre c\in \textup{R} et la fonctions u . Le coefficient {\alpha } \in \mathrm{C}^{0}\left(\bar {\omega }\right) ainsi que le terme non linéaire f: [0, 1] → \textup{R} sont donnés. (Des coefficients plus généraux que c+ α(y) , du type β(y, c) sont également traités.) Nous obtenons une résolution essentiellement complète de ce problème. Les résultats varient avec le type de nonlinéarité f . Lorsque f est du type « bistable » ou bien du type avec température d’ignition dans les modèles de combustion, nous montrons l’existence et l’unicité de c et du profil u . Dans le cas où f > 0 sur (0, 1) , nous montrons lexistence de c^* \in \textup{R} tel quune solution existe si et seulement si c ≧ c^* . Ces résultats étendent aux dimensions supérieures divers travaux classiques en dimension un. En particulier, ils généralisent le résultat de Kolmogorov, Petrovsky et Piskounov.